Arrangement

La notion d'arrangement est un concept de mathématiques, plus précisément de combinatoire, utilisé, entre autres, dans les calculs de probabilité. Il correspond au choix d'objets dans un ensemble de taille donnée, lorsque les objets sont discernables et que l'on se soucie de l'ordre dans lequel les objets sont placés ou énumérés. Un arrangement résulte, par exemple, de tirages 1) successifs et 2) sans remise d'objets discernables dans une urne (pour un tirage simultané, on obtient la notion de combinaison).

Plus formellement, un arrangement de $k$ objets pris parmi $n$ objets est un k-uplet d'éléments distincts.

Le nombre d'arrangements que l'on peut composer est noté $A_{n}^{k}$ (lire « A » « n » « k ») et vaut :

A_{n}^{k}=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots \left(n-k+1\right)

.

Cette formule peut se comprendre à l'aide d'un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est choisi parmi $n$ , le second parmi $(n-1)$ … et le dernier parmi $(n-k+1)$ .

Avec la notation factorielle, où $n!=1\times 2\times ...\times n$ , cette formule devient

A_{n}^{k}={\dfrac {n!}{(n-k)!}}\quad {\mbox{pour }}k\leqslant n.

En particulier, $A_{n}^{k}=0$ pour $k>n$ (ce qui exprime le principe des tiroirs). Il s’agit en fait de la factorielle décroissante appliquée aux seuls entiers naturels :

A_{n}^{k}=n^{\underline {k}}

.

Algébriquement, $A_{n}^{k}$ est le nombre d'injections d'un ensemble à $k$ éléments vers un ensemble à $n$ éléments. Le nombre d'arrangements est lié au coefficient binomial ${n \choose k}$ (anciennement $C_{n}^{k}$ ) par :

{n \choose k}={\dfrac {A_{n}^{k}}{k!}}

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Exemples

Exemple d'énumération d'éléments par arrangement

Soit un ensemble de 4 éléments $E=\{a,b,c,d\}$ . Les arrangements de 3 éléments choisis parmi les 4 éléments de $E$ sont : ${\begin{matrix}(a,b,c),&(a,c,b),&(b,a,c),&(b,c,a),&(c,a,b),&(c,b,a),\\(a,b,d),&(a,d,b),&(b,a,d),&(b,d,a),&(d,a,b),&(d,b,a),\\(a,c,d),&(a,d,c),&(c,a,d),&(c,d,a),&(d,a,c),&(d,c,a),\\(b,c,d),&(b,d,c),&(c,b,d),&(c,d,b),&(d,b,c),&(d,c,b).\end{matrix}}$

Il y en a $A_{4}^{3}=24.$

Exemple de dénombrement pour n grand

À un examen, cinq candidats tirent les uns après les autres un sujet dans une urne contenant des questions toutes différentes. Le premier tirage se fera sur un ensemble de 50 questions possibles. À chaque tirage suivant, la question qui vient d'être tirée est enlevée de l'urne. Ainsi, en faisant passer les cinq candidats, le tirage se fait d'abord sur 50, puis sur 49, et ainsi de suite jusqu'à 46 qui représente l'ensemble des questions restantes dans l'urne avant le dernier tirage. Le nombre d'arrangements pour cette série de 5 questions prises parmi 50 est alors $50 \times 49 \times 48 \times 47 \times 46$ .

Si l'on remettait la question tirée de nouveau dans l'urne à chaque tirage, ce serait un arrangement avec répétition de 5 (k) parmi 50 (n), et la solution vaudrait 50⁵.

Exemples d'arrangements :

une phrase sans répétition de mot est un arrangement du dictionnaire ;
une association forme son bureau (président, trésorier, secrétaire) à partir des membres de l'association ; le bureau est un arrangement de l'association ;
le podium d'une course est un arrangement de l'ensemble des participants.

Définition

Définition — Soient $E$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $k$ un entier naturel.

Un $k$ -arrangement de $E$ (ou $k$ -arrangement de $E$ , ou encore arrangement de $n$ éléments pris $k$ à $k$ est une application injective de $\{1,\dots ,k\}$ dans $E$ .

Plus explicitement : c'est un $k$ -uplet $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})$ d'éléments de $E$ tel que pour tous $i,j\in [|,1,k|]$ distincts, on ait $a_{i}\neq a_{j}$ .

Remarque: Construire un arrangement revient à placer les uns après les autres, $k$ objets discernables pris parmi $n$ , dans $k$ cases numérotées, et donc une permutation de $n$ éléments est un $n$ -arrangement de $n$ éléments. La notion d'arrangement généralise ainsi celle de permutation.

Théorème

Théorème — Soient $E$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $k$ un entier naturel. Le nombre de $k$ -arrangements sans répétition de $E$ , noté $A_{n}^{k}$ , est donné par :