Courbe quartique

En géométrie, une courbe quartique est une courbe algébrique de degré quatre.

Elle peut être définie par une équation de degré quatre :

$Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3}+Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0.$

Cette équation a quinze constantes. Cependant, elle peut être multipliée par une constante non nulle sans changer la courbe. De ce fait, l'espace des courbes quartiques peut être identifié avec l'espace projectif réel $\mathbb {RP} ^{14}$. Il en résulte qu'il y a exactement une seule courbe quartique qui passe par un ensemble de quatorze points distincts en position générale, puisqu'une quartique a 14 degrés de liberté.

Une courbe quartique peut avoir un maximum de :

• quatre composantes connexes,
• vingt-huit bitangentes (en),
• trois points doubles ordinaires, à moins qu'elle ne se décompose.

Un exemple de courbe quartique (gauche) est la fenêtre de Viviani.

On distingue plusieurs familles de quartiques en fonction du genre.

• Si le genre = 0, alors ce sont les quartiques rationnelles
• Si le genre = 1, alors ce sont les quartiques elliptiques
• Si le genre = 2, alors ce sont les quartiques du diable
• Si le genre = 3, alors ce sont les quartiques de genre trois

Exemples

• Courbe bicorne (en)
• Ovale de Descartes
• Ovale de Cassini
• Courbe deltoïde
• Lemniscate de Booth (hippopède de Proclus)
• Lemniscate de Bernoulli
• Besace et son cas particulier, la Lemniscate de Gerono
• Spirique de Persée
• Section torique
• Kampyle d'Eudoxe (en)

• 
  Courbe esperluette
• 
  Courbe haricot
• 
  Courbe bicuspide
• 
  Courbe nœud
• 
  Courbes cruciformes
• 
  Spiriques de Persée
• 
  Trifolium
• 
  Courbe de Trott et quelques-unes des 28 bitangentes.

Liens externes

• Robert Ferréol, « Quartique », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

• Robert Ferréol, « Quartique bicirculaire », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quartic plane curve » (voir la liste des auteurs).