Espace T1

En mathématiques, un espace T₁ (ou espace accessible, ou de Fréchet) est un cas particulier d'espace topologique, obéissant à l'axiome T₁ des axiomes de séparation.

Définition

Un espace topologique $X$ est dit T₁ si pour tout couple d'éléments distincts $(x,y)\in X^{2}$, il existe un voisinage de x qui ne contient pas y et il existe un voisinage de $y$ qui ne contient pas $x$.

Dans un espace T₀, le « et » est seulement un « ou » ; montrant au passage que tout espace T₁ est T₀.

Propriétés

Caractérisation

Un espace topologie est T₁ si et seulement si les singletons sont fermés. On en déduit que toute partie finie est fermée et que tout singleton est l'intersection de ses voisinages.

Liens avec les autres axiomes de séparation

L'axiome de séparation T₁ est plus fort que T₀ (voir supra), ainsi tous les espaces T₁ sont T₀. Cependant la réciproque est fausse : la topologie du point particulier (en) est un exemple d'espace T₀ qui n'est pas T₁. De façon analogue, tous les espaces T₂ sont T₁, en particulier les espaces métriques sont T₁. Mais réciproque est aussi fausse : certains espaces, comme la topologie cofinie sur un ensemble infini, sont T₁ sans être T₂.

Stabilité par sous-espace et produit

Le caractère T₁ est stable par passage au sous-espace et par formation de produits. En effet, un sous-espace d'un espace T₁ hérite naturellement de cette propriété pour la topologie induite. De plus pour une famille $(X_{i})_{i\in I}$ d'espaces T₁, le produit $\prod _{i\in I}X_{i}$ est aussi T₁, car pour tout point $x=(x_{i})$, le singleton $\{x\}$ s'écrit comme $\bigcap _{i\in I}\pi _{i}^{-1}(\{x_{i}\})$ qui est fermé.

Points limites

On définit ici un point limite $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette au moins un élément de $Y$ différent de $a$.

On définit ici un point d'accumulation $a\in X$ d'une partie $Y\subset X$ comme étant tel que tout voisinage de $a$ admette une infinité d'éléments de $Y$.

Une propriété fondamentale est que dans un espace T₁, les notions de point limite et de point d'accumulation sont synonymes.

Démonstration

Soit $X$ un espace T₁. Soit $Y\subset E$. Soit $a\in X$.

• Supposons que $a$ est un point d'accumulation de $Y$. Soit $V\in {\mathcal {V}}(a)$. $V\cap Y$ est infini, donc contient a fortiori deux éléments distincts. Parmi ceux-ci, au moins un est différent de $a$ (sinon ils ne seraient pas distincts...).
• Supposons que $a$ est un point limite de $Y$. Soit $V\in {\mathcal {V}}(a)$. Supposons $V\cap Y$ fini.
  
  Alors $V\cap (Y\setminus \{a\})$ est également fini (par inclusion). On écrit alors $V\cap (Y\setminus \{a\})=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}$.
  Comme chacun des $x_{i}$ est différent de $a$, et qu'on est dans un espace T₁, on construit pour chacun un $V_{i}\in {\mathcal {V}}(a)$ tel que $x_{i}\notin V_{i}$.
  
  Ceci étant, posons ${\tilde {V}}=V\cap V_{0}\cap V_{1}\cap \ldots \cap V_{n}$.
  ${\tilde {V}}\in {\mathcal {V}}(a)$ (par stabilité par intersections finies).
  Or, on a clairement ${\tilde {V}}\cap (Y\setminus \{a\})=\emptyset$. Absurde (par hypothèse).

Ainsi, dans un espace T₁, si une partie admet un point limite, alors cette partie et donc l'espace sont infinis.

Exemples et contre-exemples

• Les espaces triviaux générés par l'ensemble vide ou un singleton sont trivialement T₁.
• Tout espace T₂ est T₁. En particulier, les espaces métriques sont T₁.
• La topologie cofinie sur un ensemble infini et la topologie de Zariski sur une variété algébrique sont T₁ mais pas T₂.
• Tout espace muni de la topologie du point particulier (en) et la topologie de Zariski sur le spectre premier d'un anneau ne sont pas T₁ mais sont T₀.

Histoire

Les espaces T₁ ont été introduit par Frigyes Riesz dans un article publié en 1909.

Notes et références

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « T1 space » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Axiome de séparation (topologie)

Bibliographie

• (de) Frigyes Riesz, « Die Genesis des Raumbegriffes », Mathematische und naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn, vol. 24,‎ 1909, p. 309-353 (lire en ligne [PDF], consulté le 29 octobre 2025)
• (en) Ryszard Engelking, General topology, Heldermann, coll. « Sigma series in pure mathematics », 1989 (ISBN 978-3-88538-006-1)
• (en) Aleksandr Vladimirovič Arhangelʹskij et Lev Semënovič Pontrâgin, General topology, Springer, coll. « Encyclopaedia of mathematical sciences », 1990 (ISBN 978-3-540-18178-1 et 978-0-387-18178-3)