Espace classifiant

En mathématiques, un espace classifiant pour un groupe topologique G est la base d’un fibré principal particulier EG → BG appelé fibré universel, induisant tous les fibrés ayant ce groupe de structure sur n’importe quel CW-complexe X par image réciproque (pullback).

${\begin{matrix}E&\rightarrow &\mathrm {E} G\\\downarrow &&\downarrow \\X&\rightarrow &\mathrm {B} G\end{matrix}}$

Dans le cas d’un groupe discret, la définition d’espace classifiant correspond à celle d’un espace d'Eilenberg-MacLane K(G, 1), c’est-à-dire un espace connexe par arcs dont tous les groupes d'homotopie sont triviaux en dehors du groupe fondamental (lequel est isomorphe à G).

La notion s’étend avec celle d’espace classifiant d’une catégorie, qui est une réalisation géométrique de son nerf.

Exemples

Le cercle $S^{1}$ est l’espace classfiant pour son groupe d’homotopie $\pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$ par le revêtement infini $\mathbb {R} \to S^{1}$. Plus généralement le tore de dimension n est classifiant pour le groupe abélien libre $\mathbb {Z} ^{n}$.

D’autres espaces sont classifiants pour leur groupe d’homotopie :

• les variétés hyperboliques et en particulier les surfaces fermées (compactes et sans bord) connexes de genre strictement supérieur à 1
• le bouquet de cercles $\bigvee _{i=1}^{n}S^{1}$ pour le groupe libre avec n générateurs.

L’espace $\mathrm {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ de configurations non ordonnées de n points dans le plan classifie le groupe de tresses à n brins. Le sous-groupe des tresses pures est classifié par l’espace des configurations ordonnées. En considérant les configurations non ordonnées de points dans l’espace de dimension infinie $\mathbb {R} ^{\infty }$, on trouve l’espace classifiant du groupe symétrique : $\mathrm {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{\infty })=B\Sigma _{n}$.

Le groupe à deux éléments $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ est classifié par l’espace projectif réel infini via son revêtement universel $S^{\infty }\to \mathbb {R} P^{\infty }$.

Le classifiant du groupe orthogonal $O(n)$ des isométrie de $\mathbb {R} ^{n}$ est la grassmannienne $\mathrm {Gr} _{n}$, dont les éléments sont les sous-espaces vectoriels de dimension n dans $\mathbb {R} ^{\infty }$.

Bibliographie

• John Milnor, « Construction of universal bundles », Ann. of Math, vol. 63,‎ 1956, p. 272-284 et 430–436 (lire en ligne, consulté le 12 octobre 2025).
• Dale Husemoller, Fibre bundles, New York / London / Sydney, McGraw-Hill, 1966 (OCLC 909937420).