Logique pertinente

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La logique pertinente^[1] ou logique de la pertinence^[2] désigne une famille de systèmes logiques qui ont été développées pour modéliser le raisonnement tout en évitant les paradoxes de l'implication matérielle (en), des « fausses lois de la logique »^[3]. Ces logiques ont été développées par des figures telles que Richard Sylvan (en), Val Plumwood, Nuel Belnap (en), Alan Ross Anderson (en), Jon Michael Dunn (en), Robert Kenneth Meyer (en), Alasdair Urquhart (en), Kit Fine ou encore Anil Gupta (en).

Ce sont des logiques sociatives, c'est-à-dire que toute tautologie conditionnelle doit avoir du contenu en commun entre impliquant et impliqué. Dans le cas des logiques pertinentes, cette sociativité est formalisée par la propriété de partage des variables, à savoir que toute tautologie conditionnelle doit admettre au moins une variable propositionnelle commune à leur impliquant et leur impliqué^[4]. Les logiques pertinentes sont typiquement caractérisées leur invalidation du syllogisme disjonctif de la règle γ d'Ackermann^[5]^,^[6], à savoir ${\overline {\vdash (\neg A\lor B)\to (A\to B)}}$ ou, en langage naturel, « Si ou ce n'est pas le cas que A, ou B, si A, alors B ».

Paradoxes de l'implication matérielle

Le terme d'implication matérielle réfère à l'équivalence, en logique de Frege-Russell, entre « Si A, alors B » $(A\to B)$ d'une part, « Ou ce n'est pas le cas que A, ou B » d'autre part $(\neg A\lor B)$ . Il est toutefois à noter que les paradoxes qu'on y associe prennent leur origine dans des logiques plus faibles.

Déjà en logique minimale, duquel découle notamment la logique de Frege-Russell, est admise comme tautologie « Si B, si A, alors B » $(B\to (A\to B))$ . On appelle ce théorème le paradoxe positif.

Démonstration

Il ne suffit en réalité que de trois règles : En écrivant $\vdash$ pour la relation de déduction logique, il suffit d'avoir la règle identité d'axiome ${\overline {A\vdash A}}$ , la règle structurelle d'affaiblissement gauche ${\frac {\Gamma \vdash \Delta }{\Gamma ,A\vdash \Delta }}$ , et la règle logique minimale $\to$ droite ${\frac {\Gamma ,A\vdash B,\Delta }{\Gamma \vdash A\to B,\Delta }}$ . En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &B\vdash B&{\text{axiome}}\\2\quad &B,A\vdash B&{\text{affaiblissement gauche (1)}}\\3\quad &B\vdash A\to B&{\to }{\text{ droite (2)}}\\\blacksquare \quad &\vdash B\to (A\to B)&{\to }{\text{ droite (3)}}\\\end{aligned}}$

Au-delà de la logique minimale, nous pouvons obtenir la logique intuitionniste en rajoutant la règle de syllogisme disjonctif ${\overline {A\lor B,\neg A\vdash B}}$ . Cela rajoute toutefois le paradoxe dit de la vérité creuse, posant en tautologie la formule suivante : « Si ce n'est pas le cas que A, si A, alors B » $(\neg A\to (A\to B))$ .

Démonstration

En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &A\vdash A&{\text{axiome}}\\2\quad &A\vdash B,A&{\text{affaiblissement droite (1)}}\\3\quad &A\vdash A,B&{\text{échange droite (2)}}\\4\quad &A,\neg A\vdash B&\neg {\text{ gauche (3)}}\\5\quad &\neg A,A\vdash B&{\text{échange gauche (4)}}\\6\quad &\neg A\vdash A\to B&{\to }{\text{ droite (5)}}\\\blacksquare \quad &\vdash \neg A\to (A\to B)&{\to }{\text{ droite (6)}}\\\end{aligned}}$

$\neg A\to (A\to B)$ est en réalité la curryfication de $(\neg A\land A)\to B$ , ce qui fait que la vérité creuse et le principe d'explosion sont minimalement équivalentes.

En validant à la fois le paradoxe positif et de la vérité creuse, la logique intuitionniste valide la tautologie $(\neg A\lor B)\to (A\to B)$ par simple $\lor$ gauche. Grâce à cela, la règle γ est validée en logique intuitionniste. Toutefois, l'implication intuitionniste n'est pas encore matérielle, car la réciproque $(A\to B)\to (\neg A\lor B)$ n'est pas une tautologie intuitionniste, comme nous pouvons le remarquer dans l'algèbre de Heyting $\left\langle \left\{0,{\frac {1}{2}},1\right\},\leq \right\rangle$ dans lequel $\left({\frac {1}{2}}\to {\frac {1}{2}}\right)\to \left(\neg {\frac {1}{2}}\lor {\frac {1}{2}}\right)<1$ .

Un paradoxe plus spécifique à l'implication matérielle, notée ⊃, est la tautologie suivante : « Ou si A, alors B, ou si B, alors C » $((A\supset B)\lor (B\supset C))$ . Une application directe permet de valider tautologiquement la disjonction entre toute formule conditionnelle avec sa réciproque, rendant tautologique « Ou si A, alors B, ou si B, alors A » $((A\supset B)\lor (B\supset A))$ .

Démonstration

En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &\vdash B\lor \neg B&{\text{loi du tiers exclu}}\\2\quad &B\vdash A\supset B&{\text{paradoxe positif}}\\3\quad &B\vdash B\supset C,A\supset B&{\text{affaiblissement droite (2)}}\\4\quad &B\vdash A\supset B,B\supset C&{\text{échange droite (3)}}\\5\quad &\neg B\vdash B\supset C&{\text{vérité creuse}}\\6\quad &\neg B\vdash A\supset B,B\supset C&{\text{affaiblissement droite (5)}}\\7\quad &B\lor \neg B\vdash A\supset B,B\supset C&{\lor }{\text{ gauche (4, 6)}}\\8\quad &\vdash A\supset B,B\supset C&{\text{coupure (1, 7)}}\\\blacksquare \quad &\vdash (A\supset B)\lor (B\supset C)&{\lor }{\text{ droite (1, 7)}}\end{aligned}}$

Ces différents paradoxes ont ainsi motivé la formalisation de logiques permettant de palier ces différents paradoxes. En repérant que nombre de ces paradoxes à la fois et permettent de démontrer une tautologie conditionnelle dont l'impliquant et l'impliqué ne partagent aucune formule atomique, et se dérivent généralement de la validité de la règle γ d'Ackermann, les logiques pertinentes ont été développées dans l'optique d'éviter ces deux possibilités. Le paradoxe positif, quant à lui, pousse ces logiques à affaiblir la preuve conditionnelle (en) de sorte à assurer que la conclusion se serve effectivement de l'hypothèse initiale, conduisant à une approche des hypothèses comme ressources que nous détaillerons.

Systèmes logiques pertinents

FDE

La logique FDE (First Degree Entailment) est la base commune aux systèmes logiques pertinents^[7]. Ce système est parfois caractérisé comme une logique fonctionnelle doté de trois opérations logiques, $\land ,\lor ,\neg$ , et de quatre valeurs de vérité, à savoir « Vrai » (v), « Faux » (f), « Ni vrai ni faux » (n), « Et vrai et faux » (e), desquelles seules v et e sont désignées. Les tables de vérité sont définies de manière assez standard à partir d'une algèbre de Boole à quatre valeurs, où n et e remplissent les deux valeurs intermédiaires, comme le montre ce diagramme de Hasse :

		v
	⟋		⟍
e				n
	⟍		⟋
		f

Cela nous donne alors ces tables de vérité suivantes à l'instar de l'algèbre de Boole à quatre valeurs, où la conjonction est alors associée à l'infimum, la disjonction au supremum :

	$\neg$
v	f
e	e
n	n
f	v

$\land$	v	e	n	f
v	v	e	n	f
e	e	e	f	f
n	n	f	n	f
f	f	f	f	f

$\lor$	v	e	n	f
v	v	v	v	v
e	v	e	v	e
n	v	v	n	n
f	v	e	n	f

Si e n'était pas désignée, si e et n étaient négations l'une de l'autre, nous obtiendrions exactement la logique de Frege-Russell. En effet, le principe de bivalence ne s'applique pas à la logique de Frege-Russell, en cela qu'il admet des modèles algébriques et fonctionnels dont les cardinaux de l'ensemble de valeurs sous-jacent sont des puissances de deux (2, 4, 8, 16...), plus généralement le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble si l'on s'attaque à des modèles avec une infinité de valeurs.

FDE est une logique paracohérente, au sens qu'il ne valide pas le principe d'explosion, que $\neg A\land A\not \vDash _{\rm {FDE}}B$ . Pour cela, il suffit d'expliciter un contre-exemple. Prenons A de valeur e, B de valeur f : La négation de A sera alors aussi de valeur e, ce qui donne à la prémisse une valeur e donc désignée, alors que la conclusion B ne l'est pas, ce qui n'est pas possible par propriété de la désignation. Cette paracohérence vient principalement de la valeur e qui apporte une valeur de surplus (glut en anglais), c'est-à-dire dont elle-même et sa négation sont toutes deux désignées, ainsi que de la présence d'au moins une valeur non désignée, en l'occurrence f et n. Richard Sylvan parle de logique parapertinente pour désigner une logique à la fois pertinente et paracohérente^[4], comme c'est le cas pour FDE.

FDE est aussi une logique paracomplète, au sens qu'il ne valide pas le principe du tiers exclu, que $B\not \vDash _{\rm {FDE}}\neg A\lor A$ . De la même manière, nous pouvons expliciter un contre-exemple. Prenons A de valeur n, B de valeur v : La négation de A sera alors aussi de valeur n, ce qui donne à la conclusion une valeur n donc non désignée, alors que la prémisse B l'est, ce qui n'est pas possible par propriété de la désignation. Cette paracomplétude vient principalement de la valeur n qui apporte une valeur trou (gap en anglais), c'est-à-dire dont ni elle-même ni sa négation n'est désignée, ainsi que la présence d'au moins une valeur désignée, en l'occurrence v et e.

Enfin, FDE n'admet aucune tautologie, ce qui en fait une logique sociative par absence de tautologie conditionnelle dont l'impliquant et l'impliqué ne partageraient aucune variable propositionnelle. En outre, ne validant pas la règle γ d'Ackermann, puisque ${\rm {\{\neg e\lor f,e\}}}\subseteq V_{\rm {FDE}}^{+}$ alors que ${\rm {f}}\not \in V_{\rm {FDE}}^{+}$ , FDE devient de plus une logique pertinente.

Déduction naturelle

Dans les systèmes pertinents de déduction naturelle, où il n'y a qu'une seule alternative possible dite conclusion, on collecte les hypothèses de chaque séquent dans des n-uplets, de telle sorte que l'ordre importe entre les prémisses, et les conclusions deviennent des formules indicées par des ensembles d'entiers naturels, de sorte à ce qu'ils aient la forme $A',A'',\cdots ,A^{(k)}\vdash B:P$ où $P\subseteq \{1,\cdots ,k\}$ . L'indice de cette conclusion sert à en expliciter le contexte, les hypothèses qu'il utilise ; Avec cette structure de séquent enrichi, on peut alors vérifier que chaque hypothèse est bien utilisée et formuler des règles qui les prennent en compte, traitant chaque hypothèse quelque peu comme une ressource, à l'instar de la logique linéaire^[8], qu'il nous faut utiliser pour, par exemple, démontrer une implication. Afin d'alléger la notation, nous pourrons omettre l'indice s'il est l'ensemble vide, de sorte $\Gamma \vdash A:\varnothing$ puisse être écrit $\Gamma \vdash A$ . Les règles que nous proposerons ici se baserons sur Brady (1984)^[9], par ailleurs mentionné dans Standefer (2024)^[7].

Pour raisonner avec ces séquents enrichis, il nous faut des règles structurelles plus spécifiques :

${\overline {\left\langle A',\cdots ,A^{(k)}\right\rangle \vdash A^{(k)}:{\{k\}}}}$ (hypothèse)	${\frac {\left\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)}\right\rangle \vdash B:P}{\left\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)},A^{(k+1)}\right\rangle \vdash B:P}}$ (réitération)

FDE peut être caractérisé par un certain nombre de règles à partir de cette formalisation pertinente de la déduction naturelle :

Règles	Introduction	Élimination
Conjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\land B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
Conjonction		${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:P\quad \quad \langle A\rangle \vdash C:\{1\}\quad \quad \langle B\rangle \vdash C:\{1\}}{\Gamma \vdash C:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$
Double négation	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash \neg \neg A:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg \neg A:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
Lois de De Morgan	${\frac {\Gamma \vdash \neg (A\land B):P}{\Gamma \vdash \neg A\lor \neg B:P}}$
Lois de De Morgan	${\frac {\Gamma \vdash \neg (A\lor B):P}{\Gamma \vdash \neg A\land \neg B:P}}$

B

B (base) est une extension implicative et pertinente de FDE, dont les règles sont les suivantes :

Règles	Introduction	Élimination
Implication	${\frac {\left\langle \cdots ,A^{(k-1)},A^{(k)}\right\rangle \vdash B:P\cup \{k\}}{\left\langle \cdots ,A^{(k-1)}\right\rangle \vdash A^{(k)}\to B:P\setminus \{k\}}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\to B\quad \quad \Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
Implication		${\frac {\Gamma \vdash A\to B:P\quad \quad \Gamma \vdash A:\{k\}}{\Gamma \vdash B:P\cup \{k\}}}$ où $k>\max(P)$ si $P\neq \varnothing$
Conjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\land B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
Conjonction		${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:P\quad \Gamma \vdash A\to C\quad \Gamma \vdash B\to C}{\Gamma \vdash C:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:\{k\}\quad \Gamma \vdash A\to C:P\quad \Gamma \vdash B\to C:P}{\Gamma \vdash C:P\cup \{k\}}}$ où $k>\max(P)$ si $P\neq \varnothing$
Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash A\land (B\lor C):P}{\Gamma \vdash (A\land B)\lor (A\land C):P}}$
Négation	NC	${\frac {\Gamma \vdash \neg B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to B}{\Gamma \vdash \neg A:P}}$
Double négation	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash \neg \neg A:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg \neg A:P}{\Gamma \vdash A:P}}$

De B découle les logiques pertinentes DJ^[10], T (ticket entailment), TW (weakened T), E (relevant entailment) et R (relevant implication), avec le diagramme de Hasse suivant pour leurs inclusions respectives :

		R
		│
		E
		│
		T
	⟋		⟍
TW				DJ
	⟍		⟋
		B

R

La logique pertinente R (relevant implication) fait partie des logiques pertinentes les plus permissives. Ses règles sont les suivantes :

Règles	Introduction	Élimination
Implication	${\frac {\left\langle \cdots ,A^{(k-1)},A^{(k)}\right\rangle \vdash B:P\cup \{k\}}{\left\langle \cdots ,A^{(k-1)}\right\rangle \vdash A^{(k)}\to B:P\setminus \{k\}}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\to B:P\quad \quad \Gamma \vdash A:Q}{\Gamma \vdash B:P\cup Q}}$
Conjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\land B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash A:P}}$
Conjonction		${\frac {\Gamma \vdash A\land B:P}{\Gamma \vdash B:P}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\lor B:P\quad \Gamma \vdash A\to C:Q\quad \Gamma \vdash B\to C:Q}{\Gamma \vdash C:P\cup Q}}$
Disjonction	${\frac {\Gamma \vdash B:P}{\Gamma \vdash A\lor B:P}}$
Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash A\land (B\lor C):P}{\Gamma \vdash (A\land B)\lor (A\land C):P}}$
Négation	${\frac {\Gamma \vdash A\to B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to \neg B:Q}{\Gamma \vdash \neg A:P\cup Q}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to B:Q}{\Gamma \vdash \neg A:P\cup Q}}$
Double négation	${\frac {\Gamma \vdash A:P}{\Gamma \vdash \neg \neg A:P}}$	${\frac {\Gamma \vdash \neg \neg A:P}{\Gamma \vdash A:P}}$

Puisqu'il est pertinent, la règle γ d'Ackermann n'est pas valide dans R. Toutefois, elle y est admissible : Si $\neg A\lor B$ et $A$ sont deux tautologies, alors $B$ en est une aussi^[11]^,^[12].

À noter que deux nombreuses tautologies de la logique de Frege-Russell sont également validées dans R. La plus notable est bien sûr le principe du tiers exclu, ${\overline {\vdash _{\rm {R}}\neg A\lor A}}$ . Sa démonstrabilité dans R rappelle que la loi du tiers exclu se distingue fondamentalement du principe de bivalence, qui est d'une part caractérisé par le fait d'être un système fonctionnel à deux valeurs, et d'autre part ne s'applique pas à R.

Démonstration

En utilisation la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &\langle \neg (\neg A\lor A),A\rangle \vdash A:\{2\}&{\text{hypothèse}}\\2\quad &\langle \neg (\neg A\lor A),A\rangle \vdash \neg A\lor A:\{2\}&\lor _{i}^{d}(1)\\3\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash A\to \neg A\lor A:\varnothing &{\to }_{i}(2)\\4\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash \neg (\neg A\lor A):\{1\}&{\text{hypothèse}}\\5\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash \neg A:\{1\}&\neg _{e}(4,3)\\6\quad &\langle \neg (\neg A\lor A)\rangle \vdash \neg A\lor A:\{1\}&\lor _{i}^{g}(5)\\7\quad &\vdash \neg (\neg A\lor A)\to (\neg A\lor A)&{\to }_{i}(6)\\8\quad &\vdash \neg (\neg A\lor A)\to \neg (\neg A\lor A)&{\to }_{i}(4)\\9\quad &\vdash \neg \neg (\neg A\lor A)&\neg _{i}(7,8)\\\blacksquare \quad &\vdash \neg A\lor A&\neg \neg _{e}(9)\end{aligned}}$

Certains logiciens considèrent également RM (R mingle) comme une logique pertinente : Il s'agit d'une extension de R qui valide la réciproque de la contraction, ${\overline {\vdash _{\rm {RM}}(A\to B)\to (A\to (A\to B))}}$ , que les logiciens anglophones appellent mingle. Cependant, son statut en tant que logique pertinente est controversé, car elle ne possède pas la propriété de partage des variables, puisque ${\overline {\vdash _{\rm {RM}}A\land \neg A\to B\lor \neg B}}$ ou encore ${\overline {\vdash _{\rm {RM}}\neg (A\to A)\to (B\to B)}}$ ^[13].

Fusion et fission

La fusion, notée par $\circ$ , est une opération couramment définie dans ces logiques pertinentes. On peut la caractériser par sa formule explicite, $A\circ B:=\neg (A\to \neg A)$ . Une de ses propriétés majeures est qu'elle suit la règle d'introduction de la conjonction, en permettant de combiner des formules dans des contextes différents :

${\frac {\Gamma \vdash A:P\quad \quad \Gamma \vdash B:Q}{\Gamma \vdash A\circ B:P\cup Q}}$

Il n'est cependant pas possible d'éliminer la fusion à la manière de la conjonction en général. Son intérêt vient dans la reformulation pertinente de plusieurs théorèmes de la logique de Frege-Russell. À l'instar de la logique linéaire, la conjonction se casse donc en deux opérations distinctes : $\land$ pour la conjonction additive, de formules dérivables d'un même contexte, et $\circ$ (fusion) pour la conjonction multiplicative, de formules dérivables dans des contextes différents^[14].

En logique de Frege-Russell, la curryfication prend la forme $A\to (B\to C)\dashv \vdash (A\land B)\to C$ . Certes, ${\overline {\vdash _{\rm {R}}(A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)}}$ .

Démonstration

En utilisant la notation Gentzen-linéaire :

${\begin{aligned}1\quad &\langle A\to (B\to C)\rangle \vdash A\to (B\to C):\{1\}&{\text{hypothèse}}\\2\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash A\to (B\to C):\{1\}&{\text{réitération (1)}}\\3\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash A\land B:\{2\}&{\text{hypothèse}}\\4\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash A:\{2\}&\land _{e}^{g}(3)\\5\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash B\to C:\{1,2\}&{\to }_{e}(2,4)\\6\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash B:\{2\}&\land _{e}^{d}(3)\\7\quad &\langle A\to (B\to C),A\land B\rangle \vdash C:\{1,2\}&{\to }_{e}(5,6)\\8\quad &\langle A\to (B\to C)\rangle \vdash (A\land B)\to C:\{1\}&{\to }_{i}(7)\\\blacksquare \quad &\vdash (A\to (B\to C))\to ((A\land B)\to C)&{\to }_{i}(8)\\\end{aligned}}$

Cependant, la réciproque n'est pas démontrable dans R, car elle permettrait de démontrer $A\to (B\to B)$ , ce qui enfreind la propriété de partage de variables, à partir de la R-tautologie $(A\land B)\to B$ . La curryfication dans R existe néanmoins, en utilisant l'opération de fusion au lieu de celle de conjonction : Sont valides ${\overline {\vdash _{\rm {R}}(A\to (B\to C))\to ((A\circ B)\to C)}}$ d'une part, ${\overline {\vdash _{\rm {R}}((A\circ B)\to C)\to (A\to (B\to C))}}$ d'autre part.

Il est donc plus permissif de conjoindre les hypothèses d'un théorème en utilisant la fusion qu'en utilisant la conjonction. Par exemple, si on énonce un théorème de la limite monotone pour les suites comme « Si et $(u_{n})$ est croissante, et $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ est convergente » $((Cr\land M)\to Cv)$ , cela nécessiterait de montrer que $(u_{n})$ est croissante et majorée à partir du même socle d'hypothèses, tandis que le formuler « Si $(u_{n})$ est croissante, si $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ est convergente » $((Cr\circ M)\to Cv)$ , équivalément « Si $(u_{n})$ est croissante, si $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ est convergente » $(Cr\to (M\to Cv))$ par curryfication, permet de supposer séparément $(u_{n})$ croissante et $(u_{n})$ majorée pour pouvoir démontrer que $(u_{n})$ est convergente, par exemple pour démontrer que « Si $(u_{n})$ est croissante, si $(u_{n})$ diverge, alors $(u_{n})$ n'est pas majorée » $(Cr\to (\neg Cv\to \neg M))$ ou encore « Si $(u_{n})$ diverge, si $(u_{n})$ est majorée, alors $(u_{n})$ n'est pas croissante » $(\neg Cv\to (M\to \neg Cr))$ .

Par ailleurs, pour caractériser l'équivalence logique, on caractérise habituellement $A\leftrightarrow B$ comme $(A\to B)\land (B\to A)$ . Toutefois, dans R, la caractérisation $(A\to B)\circ (B\to A)$ est également possible^[15].

On peut également définir la fission, quoique plus rare^[14], comme une disjonction multiplicative similairement à ⅋ en logique linéaire, à partir des lois de De Morgan : $A\,{\text{⅋}}\,\,B:=\neg (\neg A\circ \neg B)=\neg \neg (\neg A\to \neg \neg B)$ . On remarque également l'équivalence entre $A\,{\text{⅋}}\,\,B$ et $\neg A\to B$ dans B, ce qui permet notamment à ⅋ de vérifier la règle γ, en cela que ${\overline {\vdash _{\rm {R}}((\neg A\,{\text{⅋}}\,\,B)\land A)\to B}}$ . On peut la caractériser avec deux règles :

Syllogisme disjonctif	Dilemme constructif
${\frac {\Gamma \vdash A\,{\text{⅋}}\,\,B:P\quad \quad \Gamma \vdash \neg A:Q}{\gamma \vdash B:Q}}$	${\frac {\Gamma \vdash A\,{\text{⅋}}\,\,B:P\quad \quad \Gamma \vdash A\to C:Q\quad \quad \Gamma \vdash B\to C:R}{\Gamma \vdash C:P\cup Q\cup R}}$

Ces opérations de fusion et de fission permettent ainsi d'établir des équivalences logiques similaires à l'implication matérielle, comme ${\overline {\vdash _{\rm {R}}(A\to B)\leftrightarrow (\neg A\,{\text{⅋}}\,\,B)}}$ ou encore ${\overline {\vdash _{\rm {R}}\neg (A\to B)\leftrightarrow (A\circ \neg B)}}$ , ce qui vient par ailleurs expliciter l'aspect multiplicatif de cette implication, à l'instar de $-\!\circ$ en logique linéaire^[14].

Applications en mathématiques

En didactique des mathématiques

Les didacticiens des mathématiques, plus précisément de la logique mathématique, remarquent également une propriété en acte de causalité chez les élèves, réminescente de la logique pertinente. Ainsi, on retrouve dans Deloustal-Jorrand (2000-2001)^[16] la propriété en acte annotée (P2) : « Une implication est régie par un lien de cause à effet entre la prémisse et la conclusion ». Ce même article lie également (P2) à une thèse de logique connexive, appelée thèse d'Aristote : « A⇒(Non A) est fausse quelle que soit la proposition A ». Il est vrai que logiques pertinentes et connexives sont cousines l'une de l'autre, vue comme s'inscrivant dans un même projet commun de connexion entre impliquants et impliqués^[17]^,^[18], mais il est important de rappeler qu'elles restent distinctes en pratique ; Par exemple, s'il est vrai que des logiques pertinentes telles que E admettent des modèles fonctionnels qui sont à la fois sains et connexifs^[19], rajouter les thèses d'Aristote et de Boèce à celles-ci créent toutefois généralement un système qui, bien que non-trivial, rend tautologique la négation de n'importe quelle implication donnée^[20]^,^[21].

Quantificateurs

Les théorèmes mathématiques se formulent typiquement avec des quantificateurs, des propriétés et des variables. Or, les logiques pertinentes vues jusqu'ici relèvent du calcul des propositions. Pour passer au calcul des prédicats, Brady (1984)^[9] donne des règles qu'on peut appliquer à chaque logique pertinente X pour en rajoutant des quantificateurs, donnant une extension logique appelée XQ en conséquence. Ainsi, se construit le diagramme de Hasse suivant :

		RQ
		│
		EQ
		│
		TQ
	⟋		⟍
TWQ				DJQ
	⟍		⟋
		BQ

Les règles décrites sont essentiellement calquées sur les règles d'instanciation et de généralisation des quantificateurs présentes en logique de Frege-Russell, avec en plus de généralisations de la règle de distributivité, l'une où la disjonction est remplacée par un quantificateur existentiel (qui, par correspondance de Curry-Howard, revient à une disjonction arbitraire ou dépendante), l'autre où la conjonction est remplacée par un quantificateur universel (conjonction arbitraire ou dépendante) :

Règles
Quantificateur universel	Généralisation (Introduction)	${\frac {\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)}\rangle \vdash B[x_{0}]:P}{\langle A',A'',\cdots ,A^{(k)}\rangle \vdash \forall xB[x]:P}}$ où $x_{0}$ n'admet aucune occurrence libre parmi $B[x]$ et les $A^{(p)},p\in P$ , ni $x$ parmi $B[x_{0}]$ et les $A^{(p)},p\in P$ .
	Instanciation (Élimination)	${\frac {\Gamma \vdash \forall xB[x]:P}{\Gamma \vdash B[x_{0}]:P}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans $B[x_{0}]$ .
	Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash \forall x(A\lor B[x]):P}{\Gamma \vdash A\lor \forall xB[x]:P}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans A.
Quantificateur existentiel	Généralisation (Introduction)	${\frac {\Gamma \vdash A[x_{0}]:P}{\Gamma \vdash \exists xA[x]:P}}$
	Instanciation (Élimination)	${\frac {\Gamma \vdash \exists xA[x]:P\quad \quad \Gamma \vdash \forall x(A[x]\to B):Q}{\Gamma \vdash B:P\cup Q}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans B, avec P et Q restreintes similairement à $\to _{e}$ et $\lor _{e}$ selon la logique considérée.
	Distributivité	${\frac {\Gamma \vdash A\land \exists xB[x]:P}{\Gamma \vdash \exists x(A\land B[x]):P}}$ où x n'admet aucune occurrence libre dans A.

Pour le cas de RQ, aucune restriction n'est à noter pour la règle d'instanciation existentielle.

Rédaction dans RQ

Toute logique à déduction naturelle se traduit en pratiques rédactionnelles spécifiques pour la rédaction de démonstrations mathématiques. RQ, par sa permissivité, est utilisé comme un socle commun pour divers projets de mathématiques pertinentes, notamment les systèmes arithmétiques R^# et R^##.

Règle		Rédaction
Règles structurelles	Hypothèse	Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] Par hypothèse, $A^{(k)}$ . $_{\{k\}}$ […]
	Répétition	[…] Donc A._P […] A._P […]
	Réitération	Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] B._P […] Supposons $A^{(k+1)}$ : […] B._P […]
Implication	Introduction	Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] Donc $B$ . $_{P\cup \{k\}}$ Donc si $A^{(k)}$ , alors $B$ par preuve conditionnelle (en). $_{P\setminus \{k\}}$
Implication	Élimination	A ;_P Or si A, alors B ;_Q Donc B par détachement._P∪Q
Conjonction	Introduction	A ;_P B ;_P Donc et A, et B._P
	Élimination	Et A, et B ;_P Donc A par simplification (gauche)._P
	Élimination	Et A, et B ;_P Donc B par simplification (droite)._P
Disjonction	Introduction	A ;_P Donc ou A, ou B par addition (gauche)._P
	Introduction	B ;_P Donc ou A, ou B par addition (droite)._P
	Élimination	Ou A, ou B ;_P D'une part, si A, alors C ;_Q D'autre part, si B, alors C ;_Q Donc C par disjonction de cas._P∪Q
Distributivité		Et A, et ou B, ou C ;_P Donc ou et A, et B, ou et A, et C par distributivité._P
Négation	Introduction	Si A, alors B ;_P Or si A, alors ce n'est pas le cas B ;_Q Donc ce n'est pas le cas que A par l'absurde._P∪Q
Négation	Élimination	Ce n'est pas le cas B ;_P Or si A, alors B ;_Q Donc ce n'est pas le cas que A par modus tollens._P∪Q
Double négation	Introduction	A ;_P Donc ce n'est pas le cas que ce n'est pas le cas que A._P
Double négation	Élimination	Ce n'est pas le cas que ce n'est pas le cas que A ;_P Donc A._P
Équivalence	Introduction	Si A, alors B ;_P Si B, alors A ;_Q Donc s'équivalent A d'une part, B d'autre part par double implication._P∪Q ^{[N 1]}.
	Élimination	S'équivalent A d'une part, B d'autre part ;_P Or A ;_Q Donc B._P∪Q^{[N 2]}.
	Élimination	S'équivalent A d'une part, B d'autre part ;_P Or B ;_Q Donc A._P∪Q^{[N 2]}.
Fusion	Introduction	A ;_P B ;_Q Donc sont vérifiées A d'une part, B d'autre part séparément._P∪Q
Fusion	Décurryfication	Si A, si B, alors C ;_P Donc si sont vérifiées A d'une part, B d'autre part séparément, alors C._P
Quantificateur universel	Généralisation (Introduction)	[…] Supposons $A'$ : […] Supposons $A''$ : ⋮ […] Supposons $A^{(k)}$ : […] B[x₀] ;_P Or x₀ n'admet aucune occurrence libre parmi B[x] et les $A^{(p)},p\in P$ , ni x parmi B[x₀] et les $A^{(p)},p\in P$ ; Donc pour tout x, B[x] par généralisation universelle (en)._P
	Instanciation	Pour tout x, B[x] ;_P Or x n'admet aucune occurrence libre dans B[x₀] ; Donc B[x₀] par instanciation universelle._P
	Distributivité	Pour tout x, ou A, ou B[x] ;_P Or x n'admet aucune occurrence libre dans A ; Donc ou A, ou pour tout x, B[x]._P
Quantificateur existentiel	Généralisation	A[x₀] ;_P Donc il existe x tel que A[x] par généralisation existentielle._P
	Instanciation	Il existe x tel que A[x] ;_P Pour tout x, si A[x], alors B ;_Q Or x n'admet aucune occurrence libre dans B ; Donc B par instanciation existentielle._P∪Q
	Distributivité	Et A, et il existe x tel que B[x] ;_P Or x n'admet aucune occurrence libre dans A ; Donc il existe x tel que et A, et B[x]._P

Il est à noter qu'en mathématiques, nous avons tendance à quantifier sur des ensembles décrits explicitement, que l'on écrit $\forall x\in E,A[x]$ et $\exists x\in E,A[x]$ . Pour cela, nous pouvons définir $\forall x\in E,A[x]:=\forall x(x\in E\to A[x])$ d'une part, $\exists x\in E,A[x]:=\exists x(x\in E\circ A[x])$ d'autre part. Grâce à cela, nous pouvons démontrer que $\neg \forall x\in E,A[x]$ est équivalent à $\exists x\in E,\neg A[x]$ , ainsi que $\neg \exists x\in E,A[x]$ est équivalent à $\forall x\in E,\neg A[x]$ , par conversion des quantificateurs.

On peut ainsi formaliser certaines démonstrations mathématiques en utilisant explicitement le système RQ, comme dans toute logique du premier ordre, pertinente ou non, en partant par exemple de caractérisations communément admises. Parmi les démonstrations au programme en classe de 2^nde générale et technologie, nous avons par exemple à démontrer que ${\frac {1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal.

Démonstration

Montrons que ${\frac {1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal ; C'est-à-dire, ce n'est pas le cas qu'il existe $\langle a,k\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$ tel que ${\frac {1}{3}}={\frac {a}{10^{k}}}$ . Pour cela, il suffira de montrer que pour tout $\langle a,k\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$ , ${\frac {1}{3}}\neq {\frac {a}{10^{k}}}$ par conversion des quantificateurs. Soit $\langle a_{0},k_{0}\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$ . Supposons que ${\frac {1}{3}}={\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ :₍₁₎ ${\frac {1}{3}}={\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ ;_{1} Donc $1={\frac {3a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ ;_{1} Donc $10^{k_{0}}=3a_{0}$ ;_{1} Donc 3 divise $1+\underbrace {0+\cdots +0} _{k_{0}-1{\text{ zéros}}}$ par critère de divisibilité avec 3 ;_{1} Donc 3 divise 1._{1} Par preuve conditionnelle, si ${\frac {1}{3}}={\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ , alors 3 divise 1 ; Or 3 ne divise par 1 ; Donc ${\frac {1}{3}}\neq {\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ par modus tollens. ${\frac {1}{3}}\neq {\frac {a_{0}}{10^{k_{0}}}}$ ; Or $a_{0}\in \mathbb {Z}$ et $k_{0}\in \mathbb {N} ^{*}$ sont arbitraires ; Donc pour tout $\langle a,k\rangle \in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{*}$ , ${\frac {1}{3}}={\frac {a}{10^{k}}}$ par généralisation universelle. On en conclut que ${\frac {1}{3}}$ n'est pas un nombre décimal, ce qu'il fallait démontrer.

Toutefois, faire des mathématiques pertinentes sans avoir un socle axiomatique spécifié nous empêche de déterminer certaines propriétés intéressantes, et notamment les conditions d'application de certains théorèmes logiques. C'est ainsi que certains projets d'arithmétique pertinente ont vu le jour.

R^# et R^##

Cette liste est incomplète ou mal ordonnée. Votre aide est la bienvenue !

Le système R^# est une extension de R à partir des axiomes de Peano. Ce qui est remarquable est la non-admissibilité de la règle γ dans ce système^[22]. Un système R^##, plus fort que R^#, permet de palier ce problème^[23].

Sémantique et modèles

Modèles de Routley-Meyer

Si un modèle fonctionnel bivalent donne la logique standard, avec tous ses paradoxes, la sémantique de Routley-Meyer permet d'interpréter ces différentes logiques de manière bivalente sans retrouver tous les paradoxes de l'implication matérielle que nous cherchions alors à éviter^[15].

Pour ce faire, Routley et Meyer définissent une relation ternaire entre des configurations (« set-ups »), relation que nous noterons $a\triangleleft b\blacktriangleleft c$ pour des configurations $a,b,c$ concernées afin de rendre le tout plus lisible. Les configurations sont l'équivalent, dans cette sémantique, des mondes possibles de la sémantique de Kripke de laquelle s'inspire celle de Routley-Meyer.

On posera également $0$ la configuration initiale, de laquelle découle la relation binaire $a\blacktriangleleft b$ définie comme $0\triangleleft a\blacktriangleleft b$ . Enfin, il est habituel de définir la configuration duale d'une configuration quelconque a comme une configuration a* telle que la configuration biduale (a*)* est égale à a.

Toute formule est alors interprétée en fonction de ces configurations, avec des fonctions d'interprétation $I(A,a)$ qui prennent A une formule et a une configuration, et renvoient soit vrai, soit faux. Si $a\blacktriangleleft b$ , si $I(A,a)$ est vraie, alors $I(A,b)$ est vraie. D'ores et déjà, on peut établir les tables de vérité suivantes pour une configuration $a$ :

$I(\neg A,a)$	$I(A,a^{*})$
vraie	fausse
fausse	vraie

$I(A\land B,a)$	$I(B,a)$ vraie	$I(B,a)$ fausse
$I(A,a)$ vraie	vraie	fausse
$I(A,a)$ fausse	fausse	fausse

$I(A\lor B,a)$	$I(B,a)$ vraie	$I(B,a)$ fausse
$I(A,a)$ vraie	vraie	vraie
$I(A,a)$ fausse	vraie	fausse

Pour l'implication, la règle est la suivante : $I(A\to B,a)$ est vraie si et seulement si, pour tous contextes $b,c$ , si $a\triangleleft b\blacktriangleleft c$ , si $I(A,b)$ est vraie, alors $I(B,c)$ est vraie.

Comme pour les sémantiques de Kripke, les axiomes que l'on rajoute afin de restreindre cette relation ternaire permettent de faire des modèles de logiques plus fortes. À l'instar des sémantiques fonctionnelles usuelles, on écrira $\{A',A'',\cdots ,A^{(k)}\}\vDash B$ si et seulement si pour toute configuration a, pour toute fonction d'interprétation $I(\cdot ,\cdot )$ , si $I(A',a)$ , si $I(A'',a)$ , …, si $I(A^{(k)},a)$ , alors $I(B,a)$ .

Monoïdes de De Morgan

Les monoïdes de De Morgan permettent de donner une sémantique saine et complète pour R, permettant d'étudier ce système logique algébriquement^[24] à l'instar des algèbres de Boole pour la logique standard, plus généralement les algèbres de Heyting pour la logique intuitionniste. Ces structures algébriques partent d'un ensemble E qu'on munit de structures de treillis distributif $\langle E,\wedge ,\vee \rangle$ , d'une structure de monoïde commutatif $\langle E,\circ ,e\rangle$ , enfin d'une opération interne unaire $\neg$ involutive, qui vérifient les propriétés suivantes pour tous éléments $x,y,z\in E$ : Les propriétés de contraposition telles que si $x\leq y$ , alors $\neg y\leq \neg x$ d'une part, si $x\circ y\leq z$ , alors $x\circ \neg z\leq \neg y$ d'autre part ; La propriété de monoïde ordonné par treillis $x\circ (y\vee z)=(x\circ y)\vee (x\circ z)$ ; La relation de curryfication telle que s'équivalent $x\circ y\leq z$ d'une part, $x\leq y\to z$ , où l'opération d'implication $y\to z$ est défini comme $\neg (y\circ \neg z)$ ; Enfin, que $x\leq x\circ x$ .

On définit alors ce qu'est une interprétation v sur un monoïde de De Morgan $\langle E,\wedge ,\vee ,\circ ,e,\neg \rangle$ qui, à l'instar des sémantiques fonctionnelles, associe à chaque formule A du langage des formules logiques un élément v(A) de E, qui pour toutes formules $A,B$ préserve la négation $v(\neg A)=\neg v(A)$ , la conjonction $v(A\land B)=v(A)\wedge v(B)$ , la disjonction $v(A\lor B)=v(A)\vee v(B)$ , la fusion $v(A\circ B)=v(A)\circ v(B)$ , enfin l'implication $v(A\to B)=v(A)\to v(B):=\neg (v(A)\circ \neg v(B))$ . Grâce à cela, s'équivalent que $\vdash _{\rm {R}}A$ d'une part, que $e\leq v(A)$ pour toute interprétation sur tout monoïde de De Morgan d'autre part. Cela apporte alors une sémantique complète et saine pour R.

Un exemple de monoïde de De Morgan est donné par $\langle \{0,1,2,3\},\min ,\max ,\circ ,1,\neg \rangle$ dont sont définies $\circ ,\neg$ ainsi :

$\circ$	1	2	3
0	0	0	0
1	1	2	3
1	2	3	3
1	3	3	3

$A$	0	1	2	3
$\neg A$	3	2	1	0

Notes et références

Notes

↑ Cela résulte de la caractérisation de la biconditionnelle comme $(A\to B)\circ (B\to A)$ , voir Sylvan & Meyer (1973).
↑ ^{a et b} Cela résulte de la caractérisation usuelle de la biconditionnelle comme $(A\to B)\land (B\to A)$ .

Références

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↑ Jacques Dubucs, « Pertinence § Logique, philosophie cognitive », sur Larousse.fr (consulté le 13 mars 2026).
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↑ ^{a et b} (en) Richard Sylvan, Sociative Logics and Their Applications : Essays by the Late Richard Sylvan, Routledge, coll. « Revivals / Western Philosophy Series », 2000 (ISBN 978-1-138-74305-2 et 978-1-315-18195-0).
↑ (en) « Relevant Logics » (consulté le 8 mars 2026).
↑ (de) Wilhelm Ackermann, « Begründung einer strengen Implikation », Journal of Symbolic Logic, vol. 21, n^o 2,‎ 1956, p. 113-128 (DOI 10.2307/2268750).
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↑ (en) Mike Shulman, « Linear logic § As a relevant logic », sur nLab, 2012 (consulté le 9 mars 2026).
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↑ . (en) Andrew Tedder, « A Note on R-Mingle and the Danger of Safety », The Australasian Journal of Logic, vol. 19, n^o 1,‎ 2022, p. 1-8 (DOI 10.26686/ajl.v19i1.7449).
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↑ (en) Tore Fjetland Øgaard, « Farewell to Suppression-Freedom », Logica Universalis, vol. 14,‎ 2020, p. 297-330 (DOI 10.1007/s11787-020-00255-0) (voir Figure 5 pour modèle connexif de E).
↑ (en) Andrew Tedder, « Negated Implications in Connexive Relevant Logics », The Australasian Journal of Logic, vol. 22, n^o 1,‎ 2025, p. 8-32 (DOI 10.26686/ajl.v22i2.8426)
↑ (en) Richard Sylvan (Routley), Val Plumwood, Robert Kenneth Meyer et Ross Brady, Relevant Logics and Their Rivals, Ridgeview, 1982
↑ (en) Harvey Friedman et Robert Kenneth Meyer, « Whither Relevant Arithmetic? », The Journal of Symbolic Logic, vol. 57, n^o 3,‎ 1992, p. 824-831 (DOI 10.2307/2275433).
↑ (en) Robert Kenneth Meyer, « ⊃E is Admissible in “true” relevant arithmetic », Journal of Philosophical Logic, vol. 27,‎ 1998, p. 327-351 (DOI 10.1023/A:1017990121294).
↑ (en) Nuel Belnap, Entailment : The Logic of Relevance and Neccessity, vol. 1, Princeton University Press, 1975 (ISBN 0-691-07192-6).

Articles connexes

Logique.
Logique formelle.
Logique classique, aussi dite de Frege-Russell.
Implication logique.
Logique paracohérente.
Logique connexive, une famille de logiques cherchant à résoudre des paradoxes liés à la négation des implications plutôt qu'à leur assertion, formant un projet cousin de la logique pertinente.
Logique linéaire.
Logiques sous-structurelles.

[22] Cela résulte de la caractérisation de la biconditionnelle comme $(A\to B)\circ (B\to A)$ , voir Sylvan & Meyer (1973).

[bicondconj-23] {a et b} Cela résulte de la caractérisation usuelle de la biconditionnelle comme $(A\to B)\land (B\to A)$ .

[1] François Rivenc, Introduction à la logique pertinente, Presses universitaires de France, coll. « Science, histoire et société », 2004, 274 p. (ISBN 978-2-13-053758-8).

[2] Jacques Dubucs, « Pertinence § Logique, philosophie cognitive », sur Larousse.fr (consulté le 13 mars 2026).

[3] (en) Valerie Plumwood, « Some False Laws of Logic », Australasian Journal of Logic, vol. 20, n^o 2,‎ 2023, p. 97-137 (DOI 10.26686/ajl.v29i2.8286)

[sylvan00-4] {a et b} (en) Richard Sylvan, Sociative Logics and Their Applications : Essays by the Late Richard Sylvan, Routledge, coll. « Revivals / Western Philosophy Series », 2000 (ISBN 978-1-138-74305-2 et 978-1-315-18195-0).

[5] (en) « Relevant Logics » (consulté le 8 mars 2026).

[6] (de) Wilhelm Ackermann, « Begründung einer strengen Implikation », Journal of Symbolic Logic, vol. 21, n^o 2,‎ 1956, p. 113-128 (DOI 10.2307/2268750).

[standefer24-7] {a et b} (en) Shawn Standefer, « Routes to relevance: Philosophies of relevant logics », Philosophy Compass,‎ 2024 (DOI 10.1111/phc3.12965).

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[brady84-9] {a et b} (en) Ross Brady, « Natural deduction systems for some quantified relevant logics », Logique et Analyse, vol. 27, n^o 8,‎ 1984, p. 355-377.

[10] (en) « The Logics B, DJ, and DK », sur Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2020 (consulté le 10 mars 2026).

[11] (en) Robert Kenneth Meyer et Jon Michael Dunn, « E, R, and γ », The Journal of Symbolic Logic, vol. 34, n^o 3,‎ 1969, p. 460-474 (DOI 10.2307/2270909).

[12] (en) Yale Weiss, « Cut and Gamma I: Propositional and Constant Domain R », The Review of Symbolic Logic, vol. 13, n^o 4,‎ 2020, p. 887-909 (DOI 10.1017/S1755020319000388).

[13] . (en) Andrew Tedder, « A Note on R-Mingle and the Danger of Safety », The Australasian Journal of Logic, vol. 19, n^o 1,‎ 2022, p. 1-8 (DOI 10.26686/ajl.v19i1.7449).

[shulman16-14] {a b et c} (en) Mike Shulman, « Relevance logic », sur nLab, 2016 (consulté le 9 mars 2026).

[sylvanmeyer73-15] {a et b} (en) Richard Sylvan (Routley) et Robert Kenneth Meyer, « The Semantics of Entailment », Truth, Syntax, and Modality: Proceedings Of The Temple University Conference On Alternative Semantics,‎ 1973, p. 199-243 (lire en ligne, consulté le 10 mars 2026).

[16] Virginie Deloustal-Jorrand, « L'implication. Quelques aspects dans les manuels et points de vue d'élèves-professeurs », Petit x, vol. 55, n^o 3,‎ 2000-2001, p. 35-70 (lire en ligne, consulté le 10 mars 2026).

[17] (en) Richard Sylvan (Routley), « Semantics for connexive logics. I », Studia Logica, vol. 37,‎ 1978, p. 393-412 (DOI 10.1007/BF02176171).

[18] (en) Luis Estrada-González, « The Bochum Plan and the foundations of contra-classical logics », CLE e-Prints, vol. 19, n^o 1,‎ 2020, p. 1-22 (lire en ligne, consulté le 10 mars 2026).

[19] (en) Tore Fjetland Øgaard, « Farewell to Suppression-Freedom », Logica Universalis, vol. 14,‎ 2020, p. 297-330 (DOI 10.1007/s11787-020-00255-0) (voir Figure 5 pour modèle connexif de E).

[20] (en) Andrew Tedder, « Negated Implications in Connexive Relevant Logics », The Australasian Journal of Logic, vol. 22, n^o 1,‎ 2025, p. 8-32 (DOI 10.26686/ajl.v22i2.8426)

[21] (en) Richard Sylvan (Routley), Val Plumwood, Robert Kenneth Meyer et Ross Brady, Relevant Logics and Their Rivals, Ridgeview, 1982

[24] (en) Harvey Friedman et Robert Kenneth Meyer, « Whither Relevant Arithmetic? », The Journal of Symbolic Logic, vol. 57, n^o 3,‎ 1992, p. 824-831 (DOI 10.2307/2275433).

[25] (en) Robert Kenneth Meyer, « ⊃E is Admissible in “true” relevant arithmetic », Journal of Philosophical Logic, vol. 27,‎ 1998, p. 327-351 (DOI 10.1023/A:1017990121294).

[26] (en) Nuel Belnap, Entailment : The Logic of Relevance and Neccessity, vol. 1, Princeton University Press, 1975 (ISBN 0-691-07192-6).

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[N 1]

[N 2]

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v · m Logique
Domaines académiques	Théorie des ensembles Théorie de la démonstration Théorie des modèles Logique philosophique Logique mathématique Logique informelle Histoire de la logique Philosophie de la logique
Concepts fondamentaux	Abduction Conclusion Déduction Définition Démonstration Description Implication Inférence Induction Sens Paradoxe Prédicat Prémisse Proposition Mondes possibles Présupposition Référence Sémantique Syntaxe Syllogisme Vérité Valeur de vérité Validité Plus
Esprit critique et logique informelle	Affirmation Analyse Ambiguïté Crédibilité Évidence Explication Sophisme Parcimonie Propagande Rhétorique
Logique mathématique	Algèbre de Boole Calcul des prédicats Calcul des propositions Théorie de la calculabilité Déduction naturelle Logique traditionnelle Logique classique Logique linéaire Lois de De Morgan Théorie de la démonstration Théorie des ensembles Théorie des modèles
Logiques non classiques	Logique de description Logique intuitionniste Logique minimale Logique floue Logique modale Logique non monotone Logique paracohérente Logiques sous-structurelles Logique de Łukasiewicz Logique pertinente Logique connexive
Métalogique et métamathématique	Théorème de Cantor Thèse de Church Fondements des mathématiques Théorème de complétude de Gödel Théorème d'incomplétude de Gödel Complétude Décidabilité Théorème de Löwenheim-Skolem
Philosophie de la logique	Atomisme logique Constructivisme Logicisme Intuitionnisme Dialethéisme
Logiciens	Aristote Avicenne Averroès Bain Barwise Bernays Boole Cantor Carnap Church Chrysippe de Soles Curry De Morgan Frege Gentzen Gödel Hilbert Kleene Kripke Leibniz Löwenheim Guillaume d'Ockham Peano Peirce Popper Putnam Quine Russell Schröder Scot Skolem Smullyan Tarski Turing Whitehead Wittgenstein Zermelo

Paradoxes de l'implication matérielle

Systèmes logiques pertinents

FDE

Déduction naturelle

B

R

Fusion et fission

Applications en mathématiques

En didactique des mathématiques

Quantificateurs

Rédaction dans RQ

R# et R##

Sémantique et modèles

Modèles de Routley-Meyer

Monoïdes de De Morgan

Notes et références

Notes

Références

Articles connexes

R^# et R^##