Podaire

Construction géométrique de la podaire (en rouge) de la courbe C (ici le cercle noir) par rapport au point P (le point noir à gauche). En tout point de C, on trace la tangente et on projette P orthogonalement sur cette tangente.

La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projetés orthogonaux de P sur les tangentes à la courbe C.

Inversement, la courbe C dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire (ou podaire inverse).

L'orthotomique d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des symétriques de P par rapport aux tangentes à la courbe C. L'orthotomique est donc l'image de la podaire par une homothétie de centre P et de rapport 2.

Étymologie et histoire

La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).

Définition mathématique

Par l'équation cartésienne

Pour une équation avec une équation cartésienne sous la forme F(x, y) = 0, en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en R = (x₀, y₀) s'écrit

$\cos(\alpha )x+\sin(\alpha )y=p$

alors le vecteur (cos α, sin α) est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire.

Par l'équation polaire

Depuis P l'origine et une courbe C donnée en coordonnées polaires par r = f(θ). Soit R = (r, θ) un point sur la courbe et X = (p, α) le point correspodnat sur la courbe pédale. On note ψ l'angle entre la tangente et le vecteur rayon, parfois désigné comme angle tangentiel polaire. Il est donné par

$r={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}\tan \psi .$

Alors

$p=r\sin \psi$

et

$\alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.$

De ces équations, on peut tirer une équation en p et α qui, renvoyé sur r et θ, donne une équation polaire pour la courbe pédale.

Par l'équation paramétrique

L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :

$t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle \over |c'(t)|^{2}}c'(t)$

Exemples

La podaire d'une parabole par rapport à son foyer est la tangente au sommet.

courbe donnée C	point de référence P	courbe podaire
droite	quelconque	point
cercle	sur le cercle	cardioïde
cercle	quelconque	limaçon de Pascal
parabole	foyer	droite
parabole	sommet	cissoïde de Dioclès
ellipse	foyer	cercle
hyperbole équilatère	centre	lemniscate de Bernoulli
hyperbole	foyer	cercle
spirale logarithmique	pôle	spirale logarithmique

Applications

La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.

Voir aussi

• Cercle podaire

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Pedal Curve », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Contrapedal Curve », sur MathWorld
• (en) Eric W. Weisstein, « Orthotomic », sur MathWorld
• (fr) Sur le site Mathcurve.com

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pedal curve » (voir la liste des auteurs).