Rayon spectral

En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le rayon spectral d'un endomorphisme $A$ est le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de $A$. Il est généralement noté $\rho (A)$.

Définition

Soit $A\in M_{n}(\mathbb {C} )$, en notant $\sigma (A)$ l'ensemble des valeurs propres de $A$, le rayon spectral de $A$ est défini par : $$\rho (A)=\max\{|\lambda |,\lambda \in \sigma (A)\}$$

Dans un cadre plus général, si $T$ est un opérateur borné sur un espace de Banach est : $$\rho (T)=\sup\{|\lambda |,\lambda \in \sigma (T)\}$$

Propriétés

Liens avec les normes matricielles

Pour toute norme matricielle $N$ on a $\rho (A)\leq N(A)$.

Démonstration

Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X$ un vecteur propre associé. Notons $B$ la matrice carrée dont la première colonne est $X$ et les autres sont nulles. On a $AB=\lambda B$ donc $|\lambda |N(B)=N(AB)\leq N(A)N(B)$ et l'on peut simplifier par $N(B)$ car le vecteur $X$ étant non nul, il en est de même de la matrice $B$.

De plus, on montre que $\rho (A)=\inf N(A)$, la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées donc a fortiori sur l'ensemble des normes matricielles.

Le rayon spectral peut être strictement inférieur à la norme d'opérateur. Par exemple la matrice $M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ a un rayon spectral 0, mais $M\neq 0$ donc $\|M\|>0=\rho (M)$ (plus précisément, $\|M\|=1$ car nous avons $\|M\|^{2}=\|^{\operatorname {t} }M\ M\|=\rho (^{\operatorname {t} }M\ M)=1$).

Le théorème de Gelfand nous dit que le rayon spectral $\rho (A)$ d'un endomorphisme $A$ est donné par la formule ${\rho (A)}=\lim _{+\infty }\|A^{n}\|^{1/n}$.

Opérateurs normaux

Pour un opérateur normal (en particulier pour un opérateur autoadjoint) sur un espace de Hilbert H, le rayon spectral est égal à la norme d'opérateur. On en déduit que pour tout opérateur A sur H, $\|A\|^{2}=\rho (A^{*}A)$.

Applications

En analyse numérique, le rayon spectral est utilisé dans l’étude de la convergence d’algorithmes itératifs (Méthode de Jacobi, etc.)

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Peter D. Lax, Functional Analysis, Wiley-Interscience, coll. « Pure and applied mathematics », 2002, 608 p.

Articles connexes

• Norme d'opérateur
• Spectre d'un opérateur linéaire

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Spectral Radius », sur MathWorld
• « Rayon spectral », sur Bibmath (consulté le 21 septembre 2025).