Rotation irrationnelle

Suite sturmienne générée par rotation irrationnelle d'angle θ = 0,2882748715208621 et x = 0,078943143

En mathématiques, dans la théorie des systèmes dynamiques, une rotation irrationnelle est une application

$T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1,$

En identifiant un cercle à R/Z, ou à l'intervalle [0, 1] où 0 et 1 sont considérés comme le même point (une rotation d'angle θ=1 est pareil qu'une rotation d'angle θ=0), cette application devient une rotation d'un cercle d'une proportion θ d'une révolution complète (c'est-à-dire un angle de 2πθ . radians). Puisque θ est irrationnel, la rotation a un ordre infini dans le groupe du cercle et l'application T_θ n'a pas d'orbites périodiques.

On peut aussi utiliser la notation multiplicative pour une rotation irrationnelle en introduisant l'application

$T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }$

La relation entre les notations additive et multiplicative est l'isomorphisme de groupe suivant.

$\varphi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi i\theta }$

On peut démontrer que φ est une isométrie.

Dans l'ensemble des rotations, la distinction entre rotation rationnel et rotation irrationnel est importante. Les rotations rationnelles sont des exemples moins intéressants de systèmes dynamiques car si $\theta ={\frac {a}{b}}$ et $\gcd(a,b)=1$, alors $T_{\theta }^{b}(x)=x$ quand $x\in [0,1]$. Il peut également être démontré que $T_{\theta }^{i}(x)\neq x$ quand $1\leq i<b$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Irrational rotation » (voir la liste des auteurs).